Question

选修4-5：不等式选讲
已知函数f（x）=|x-2a|+|x-a|，a∈R，a≠0．
（1）当a=1时，解不等式：f（x）＞2；
（2）若b∈R且b≠0，证明：f（b）≥f（a），并求在等号成立时

b

a

的取值范围．

Answer 1

分析：（1）因为a=1，所以原不等式为|x-2|+|x-1|＞2，分类讨论求得原不等式的解集．
（2）由题意可得f（a）=|a|，f（b）=|b-2a|+|b-a|=|2a-b|+|b-a|，利用绝对值不等式的性质证得f（b）≥f（a），根据等号成立条件，从而（2a-b）（b-a）≥0．即3ab-2a²-b²≥0，从而求得

b

a

的取值范围．

解答：解：（1）因为a=1，所以原不等式为|x-2|+|x-1|＞2．
当x≤1时，原不等式化简为1-2x＞0，即x＜

1

2

； 
当1＜x≤2时，原不等式化简为1＞2，即x∈∅；
当x＞2时，原不等式化简为2x-3＞2，即x＞

5

2

．
综上，原不等式的解集为{x|x＜

1

2

或x＞

5

2

}．
（2）由题意可得f（a）=|a|，f（b）=|b-2a|+|b-a|=|2a-b|+|b-a|≥|2a-b+b-a|=|a|，
所以f（b）≥f（a），
又等号成立，当且仅当2a-b与b-a同号，或它们至少有一个为零，
从而（2a-b）（b-a）≥0．即3ab-2a²-b²≥0，
即(

b

a

)2-

3b

a

+2≤0，从而求得 1≤

b

a

≤2．

点评：本题主要考查分式不等式的解法，不等式的性质，体现了等价转化和分类讨论的数学思想，属于中档题．