Question

已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，长轴长是短轴长的2倍且经过点M（2，1）平行于OM的直线l在y轴上的截距为m（m≠0），l交椭圆于A、B两个不同点．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）求m的取值范围；
（Ⅲ）设直线MA、MB的斜率分别为k₁，k₂，求证k₁+k₂=0．

Answer 1

（1）设椭圆方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1
则

a=2b 4 a2 + 1 b2 =1

解得a²=8，b²=2
∴椭圆方程为

x2

8

+

y2

2

1
（2）∵直线l平行与OM，且在一轴上的截距为m，由k_OM=

1

2

∴l的方程为y=

1

2

x+m
由直线方程与椭圆方程联立消去y得x²+2mx+2m²-4=0
∵直线l与椭圆交与A，B两个不同点
∴△=（2m）²-4（2m²-4）＞0
解得-2＜m＜2，且m≠0
（3）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
由x²+2mx+2m²-4=0可得
x₁+x₂=-2m，x₁x₂=2m²-4
则k₁=

y1-1

x1-2

，k₂=

y2-1

x 2 -2

而k₁+k₂=

y1-1

x1-2

+

y2-1

x 2 -2

=

( 1 2 x1+m-1)(x2-2)+( 1 2 x2+m-1)(x1-2)

(x1-2)(x2-2)

=

2m2-4+(m-2)(-2m)-4(m-1)

(x1-2)(x2-2)

=0
∴k₁+k₂=0，
故得证．