Question

已知H（-3，0），点P在y轴上，点Q在x轴的正半轴上，点M在直线PQ上，且满足．
（1）当点P在y轴上移动时，求点M的轨迹C；
（2）过点T（-1，0）作直线l与轨迹C交于A、B两点，若在x轴上存在一点E（x，0），使得△ABE是等边三角形，求x的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）设出M的坐标，利用题意向量的关系，求得x和y的关系，进而求得M的轨迹C．
（2）设直线l的方程，代入抛物线方程，设出A，B的坐标，利用韦达定理表示出x₁+x₂和x₁x₂，则线段AB中点坐标以及AB的中垂线的方程可得，把y=0代入方程，最后利用△ABE为正三角形，利用正三角的性质推断E到直线AB的距离的关系式求得k，则x可求．
解答：解（1）设点M的坐标为（x，y），
由．得，
由，得，
所以y²=4x由点Q在x轴的正半轴上，得x＞0，
所以，动点M的轨迹C是以（0，0）为顶点，以（1，0）为焦点的抛物线，除去原点．

（2）设直线l：y=k（x+1），其中k≠0代入y²=4x，得k²x²+2（k²-2）x+k²=0①
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则x₁，x₂是方程①的两个实数根，由韦达定理得
所以，线段AB的中点坐标为，线段AB的垂直平分线方程为，
令，所以，点E的坐标为．
因为△ABE为正三角形，所以，点E到直线AB的距离等于|AB|，而|AB|=．
所以，解得，所以．
点评：本题主要考查了椭圆的应用，向量的基本性质．考查了学生分析问题和解决问题的能力．