Question

（1）证明：当x∈[0，1]时，；
（2）若不等式对x∈[0，1]恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（1）记F（x）=sinx-x，可求得F′（x）=cosx-，分x∈（0，）与x∈（，1）两类讨论，可证得当x∈[0，1]时，F（x）≥0，即sinx≥x；记H（x）=sinx-x，同理可证当x∈（0，1）时，sinx≤x，二者结合即可证得结论；
（2）利用（1），可求得当x∈[0，1]时，ax+x²++2（x+2）cosx-4≤（a+2）x，分a≤-2与a＞-2讨论即可求得实数a的取值范围．
解答：（1）证明：记F（x）=sinx-x，则F′（x）=cosx-．
当x∈（0，）时，F′（x）＞0，F（x）在[0，]上是增函数；
当x∈（，1）时，F′（x）＜0，F（x）在[，1]上是减函数；
又F（0）=0，F（1）＞0，所以当x∈[0，1]时，F（x）≥0，即sinx≥x…3
记H（x）=sinx-x，则当x∈（0，1）时，H′（x）=cosx-1＜0，所以H（x）在[0，1]上是减函数；则H（x）≤H（0）=0，
即sinx≤x．
综上，x≤sinx≤x…5
（2）∵当x∈[0，1]时，ax+x²++2（x+2）cosx-4
=（a+2）x+x²+-4（x+2）
≤（a+2）x+x²+-4（x+2）
=（a+2）x，
∴当a≤-2时，不等式ax+x²++2（x+2）cosx≤4对x∈[0，1]恒成立，…9
下面证明，当a＞-2时，不等式ax+x²++2（x+2）cosx≤4对x∈[0，1]不恒成立．
∵当x∈[0，1]时，ax+x²++2（x+2）cosx-4
=（a+2）x+x²+-4（x+2）
≥（a+2）x+x²+-4（x+2）
=（a+2）x-x²-
≥（a+2）x-x²
=-x[x-（a+2）]．
所以存在x∈（0，1）（例如x取和中的较小值）满足
ax+++2（x+2）cosx-4＞0，
即当a＞-2时，不等式ax+x²++2（x+2）cosx≤4对x∈[0，1]不恒成立．
综上，实数a的取值范围是（-∞，-2]．
点评：本题考查不等式的证明，突出考查利用导数研究函数的单调性及函数恒成立问题，考查分类讨论思想与等价转化思想的综合应用，属于难题．