Question

在复平面内，已知等边三角形的两个顶点所表示的复数分别为2，

1

2

+

3

2

i，求第三个顶点所表示的复数．

Answer 1

分析：设第三个顶点所表示的复数为z，因为是正三角形，三边长相等，即复数的模相等，夹角60°，化简求解．

解答：解：设第三个顶点所表示的复数为z那么根据题意，z-2和z-(

1

2

+

3

2

i)的模相等，辐角差为

π

3

(或-

π

3

)，因而z-2=[z-(

1

2

+

3

2

i)](cos

π

3

+isin

π

3

)=(

1

2

+

3

2

i)z-(

1

2

+

3

2

i)2
[1-(

1

2

+

3

2

i)]z=2-[

1

4

+2•

1

2

•

3

2

i+(

3

2

i)2]
(

1

2

-

3

2

i)z=2-(-

1

2

+

3

2

i)∴z=2+

3

i；
或z-2=[z-(

1

2

+

3

2

i)](

1

2

-

3

2

i)=(

1

2

-

3

2

i)z-(

1

2

+

3

2

i)(

1

2

-

3

2

i)，
(

1

2

+

3

2

i)z=2-(

1

4

+

3

4

)，∴z=

1

2

-

3

2

i

点评：本题考查复数代数形式的混合运算，复数的三角形式的运算，考查复数的模等知识，是难度较大，运算量大，易出错．