Question

（本小题满分12分）

　　　如图，在四棱锥P-ABCD中，则面PAD⊥底面ABCD，侧棱PA=PD＝，底面ABCD为直角梯形，其中BC∥AD，AB⊥AD，AD=2AB=2BC=2，O为AD中点。

（Ⅰ）求证：PO⊥平面ABCD；

（Ⅱ）求异面直线PD与CD所成角的大小；

（Ⅲ）线段AD上是否存在点Q，使得它到平面PCD的距离为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由。

Answer 1

（Ⅰ）证明见解析。

（Ⅱ）

（Ⅲ），理由见解析。

解析:

解法一：

（Ⅰ）证明：在△PAD中PA=PD,O为AD中点，所以PO⊥AD，

又侧面PAD⊥底面ABCD，平面平面ABCD=AD，平面PAD，

所以PO⊥平面ABCD。

（Ⅱ）连结BO，在直角梯形ABCD中、BC∥AD，AD=2AB=2BC，

有OD∥BC且OD=BC，所以四边形OBCD是平行四边形，

所以OB∥DC。

由（Ⅰ）知，PO⊥OB,∠PBO为锐角，

所以∠PBO是异面直线PB与CD所成的角。

因为AD=2AB=2BC=2,在Rt△AOB中，AB=1,AO=1，

所以OB＝，

在Rt△POA中，因为AP＝，AO＝1，所以OP＝1，

在Rt△PBO中，tan∠PBO＝。

（Ⅲ）假设存在点Q，使得它到平面PCD的距离为。

　　　设QD＝x，则，由（Ⅱ）得CD=OB=，

　　　在Rt△POC中，

所以PC=CD=DP,

由V_p-DQC=V_Q-PCD,得2，所以存在点Q满足题意，此时。

解法二：

（Ⅰ）同解法一.

（Ⅱ）以O为坐标原点，的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向，建立空间直角坐标系O-xyz,依题意，易得A(0,-1,0),B(1,-1,0),C(1,0,0),D(0,1,0)，

P(0,0,1)，

    所以

所以异面直线PB与CD所成的角是arccos，

（Ⅲ）假设存在点Q，使得它到平面PCD的距离为，

由(Ⅱ)知

设平面PCD的法向量为n=(x₀,y₀,z₀).

则所以即，

取x₀=1,得平面PCD的一个法向量为n=(1,1,1).

设由，得解y=-或y=(舍去)，

此时，所以存在点Q满足题意，此时.