题目内容

设函数f（x）= $数学公式$ • $数学公式$ ，其中向量 $数学公式$ =（2cosx，1）， $数学公式$ =（cosx， $数学公式$ sin2x），x∈R．?
（1）若f（x）=1- $数学公式$ ，且x∈[- $数学公式$ ， $数学公式$ ]，求x；?
（2）若函数y=2sin2x的图象按向量 $数学公式$ =（m，n），（|m|＜ $数学公式$ ）平移后得到函数y=f（x）的图象，求实数m、n的值．

解：（1）依题设f（x）=2cos²x+ $\text{[math]}$ sin2x=1+2sin（ $\text{[math]}$ ），
由1+2sin（ $\text{[math]}$ ）=1- $\text{[math]}$ ，
得?sin $\text{[math]}$ =- $\text{[math]}$ ．?
∵- $\text{[math]}$ ≤x≤ $\text{[math]}$ ，
∴- $\text{[math]}$ ≤2x+ $\text{[math]}$ ≤ $\text{[math]}$ ，?
∴2x+ $\text{[math]}$ =- $\text{[math]}$ ，即x=- $\text{[math]}$ ．

（2）函数y=2sin2x的图象按向量 $\text{[math]}$ =（m，n）平移后得到函数y=2sin2（x-m）+n的图象，
即函数y=f（x）的图象．?
由（1）得f（x）=2sin2 $\text{[math]}$ +1，?
∴|m|＜ $\text{[math]}$ ，
∴m=- $\text{[math]}$ ，n=1．?
分析：（1）把向量代入数量积，利用二倍角和两角和的正弦函数化简为f（x）=1+2sin（ $\text{[math]}$ ），通过f（x）=1- $\text{[math]}$ ，且x∈[- $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ]，得到?sin $\text{[math]}$ =- $\text{[math]}$ ．?求出x的值．
（2）函数y=2sin2x的图象按向量 $\text{[math]}$ =（m，n），（|m|＜ $\text{[math]}$ ）平移后得到函数y=f（x）的图象，说明两个函数表达式相同，比较两个函数的关系，即可求出实数m、n的值．
点评：本题是中档题，高考常考题型，考查二倍角公式，两角和的正弦函数，已知函数值求角，三角函数图象的平移等知识，考查计算能力，逻辑推理能力．