Question

已知数列{a_n}的前项和为S_n，a₁=1，且3a_n+1+2S_n=3（n∈N⁺）
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若对任意的正整数n，

3

2

k≤Sn恒成立，求实数k的最大值．

Answer 1

分析：（1）由S_n是{a_n}的前n项和，且3a_n+1+2S_n=3（n∈N⁺）；可得3a_n+2s_n-1=3（n≥2）；作差得a_n+1与a_n的关系，从而求出{a_n}的通项公式；
（2）求出{a_n}的前n项和S_n，由

3

2

k≤Sn恒成立，得k的取值范围；从而求出k的最大值．

解答：解：（1）∵数列{a_n}的前n项和为S_n，a₁=1，3a_n+1+2S_n=3（n∈N⁺）①；
∴3a_n+2s_n-1=3（n≥2）②；
①-②得3a_n+1-3a_n+2a_n=0（n≥2），
∴a_n+1=

1

3

a_n（n≥2），
∴数列{a_n}是首项为a₁=1，公比q=

1

3

的等比数列，
∴{a_n}的通项公式为：a_n=a₁q^n-1=(

1

3

)n-1（n为正整数）；
（2）∵等比数列{a_n}的前n项和S_n=

a1(1-qn)

1-q

=

1-( 1 3 )n

1- 1 3

=

3

2

[1-(

1

3

)n]，
且

3

2

k≤Sn恒成立，∴k≤1-(

1

3

)n；
又数列{1-(

1

3

)n}是单调递增的，当n=1时，数列中的最小项为

2

3

，∴k≤

2

3

；
∴实数k的最大值为

2

3

．

点评：本题考查了等比数列的通项公式与前n项和问题，是中档题目．