题目内容
如图，四边形
是矩形，
平面
，四边形是梯形
，
，点
是
的中点，
.
（Ⅰ）求证：
平面
；
（Ⅱ）求二面角
的余弦值. 
是矩形，平面，四边形是梯形，，点是的中点，.（Ⅰ）求证：
平面；（Ⅱ）求二面角
的余弦值. （Ⅰ）证明：连结
，交
于点
，∴点是的中点.
∵点是的中点，∴
是
的中位线. ∴
∵
平面，
平面，∴平面.………………………5分
（Ⅱ）解：
四边形 是梯形，，
又四边形是矩形，
，又
，
又
，
。在
中，
，由
可求得
……………… 6分
以
为原点，以
，
，
分别为
， 
，
轴建立空间直角坐标系.…………… 7分
∴
，
，
，
，
∴
，
，
. 设平面
的法向量
，
∴
，
. ∴ 
令
，则
，
.
∴
. 又
是平面
的法向量，
∴
如图所示，二面角为锐角.
∴二面角的余弦值是
…………………………13分
，交于点，∴点是的中点. ∵点
是的中点，∴是的中位线. ∴∵
平面，平面，∴平面.………………………5分（Ⅱ）解：
四边形 是梯形，，又四边形
是矩形，，又，又
，。在中，，由可求得 ……………… 6分 以
为原点，以，，分别为， ，轴建立空间直角坐标系.…………… 7分 ∴
，，，，∴
，，. 设平面的法向量， ∴
，. ∴ 令，则，. ∴
. 又是平面的法向量，∴
如图所示，二面角为锐角. ∴二面角
的余弦值是…………………………13分略
练习册系列答案
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中，
底面
，
，
分别在棱
上，且
平面
；
的中点时，求
与平面
中，
是
的中点，
是线段
上的动点，且
，求证：
；
的余弦值；
与平面
所成角的大小为
，求
的最大值.
的对角线
交于点
，
，且
，
，
．现沿对角线
将三角形
翻折，使得平面
平面
．翻折后： （Ⅰ）证明：
分别为
的中点．①求二面角
大小的余弦值； ②求点
到平面
的距离 
中,
为侧面
的中心,
为底面
的中心,
为
的中点，G为AB的 中点，
//平面
平面
.
中，D，E，F分别是AB，AC和BC边的中点，
，现将
DE？证明你的结论.
,
那么过点P且平行于直线
的直线 ( )
内
中,
.
;(Ⅱ)求二面角
的余弦值大小;
上是否存在点
,使得
∥平面
, 若存在,试给出证明;若不存在,请说明理由.
中，侧面
⊥底面
，
，底面
，O为
中点。
平面
；