Question

给出下列四个命题：
①若函数f（x）=a（x³-x）在区间（，）为减函数，则a＞0；
②函数f（x）=lg（ax+1）的定义域是；
③当x＞0且x≠1时，有；
④函数中，幂函数有2个．
所有正确命题的个数是（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4

Answer 1

【答案】分析：对于①若函数f（x）=a（x³-x）在区间（，）为减函数，则f′（x）＜0在区间（，）上恒成立，即可求得a的范围；对于②当a＞0时，函数f（x）=lg（ax+1）的定义域是；对于③当x＞0且x≠1时，因lnx不一定大于0，故不一定有；对于④函数中，幂函数有y=x²，y=x，共2个．
解答：解：①若函数f（x）=a（x³-x）在区间（，）为减函数，则f′（x）＜0在区间（，）上恒成立，即：a（3x²-1）＜0⇒a＞0；故①正确；
②当a＞0时，函数f（x）=lg（ax+1）的定义域是；故其错；
③当x＞0且x≠1时，因lnx不一定大于0，故不一定有；故③错；
④函数中，幂函数有y=x²，y=x，共2个．故其正确．
所有正确命题的个数是2．
故选B．
点评：本小题主要考查函数单调性的应用、函数恒成立问题、不等式的解法等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想．属于基础题．