Question

设O为坐标原点,曲线x²+y²+2x-6y+1=0上有两点P、Q,满足关于直线x+my+4=0对称,又满足·=0.

(1)求m的值;

(2)求直线PQ的方程.

Answer 1

解：(1)曲线方程为(x+1)²+(y-3)²=9表示圆心为(-1,3),半径为3的圆.

    ∵点P、Q在圆上且关于直线x+my+4=0对称,∴圆心(-1,3)在直线上.代入得m=-1.

    (2)∵直线PQ与直线y=x+4垂直,

    ∴设P(x₁,y₁)、Q(x₂,y₂),PQ方程为y=-x+b.

    将直线y=-x+b代入圆方程,得2x²+2(4-b)x+b²-6b+1=0.

    Δ=4(4-b)²-4×2×(b²-6b+1)＞0,得2-3＜b＜2+3.

    由韦达定理得x₁+x₂=-(4-b),x₁·x₂=.

    y₁·y₂=b²-b(x₁+x₂)+x₁·x₂=+4b.

    ∵·=0,

    ∴x₁x₂+y₁y₂=0,

    即b²-6b+1+4b=0.

    解得b=1∈(2-3,2+3).

    ∴所求直线方程为y=-x+1.