Question

如图，某地为了开发旅游资源，欲修建一条连接风景点P和居民区O的公路，点P所在的山坡面与山脚所在水平面α所成的二面角为θ（0°＜θ＜90°），且sinθ=

2

5

，点P到平面α的距离PH=0.4（km）．沿山脚原有一段笔直的公路AB可供利用、从点O到山脚修路的造价为a万元/km，原有公路改建费用为

a

2

万元/km、当山坡上公路长度为lkm（1≤l≤2）时，其造价为（l²+1）a万元、已知OA⊥AB，PB⊥AB，AB=1.5（km），OA=

3

(km)．
（Ⅰ）在AB上求一点D，使沿折线PDAO修建公路的总造价最小；
（Ⅱ）对于（I）中得到的点D，在DA上求一点E，使沿折线PDEO修建公路的总造价最小．
（Ⅲ）在AB上是否存在两个不同的点D′，E′，使沿折线PD′E′O修建公路的总造价小于（Ⅱ）中得到的最小总造价，证明你的结论、

Answer 1

分析：对于（Ⅰ）在AB上求一点D，使沿折线PDAO修建公路的总造价最小．这是一个实际应用题，需要先把复杂的图形转化为清晰的几何图形，然后设BD=x（km）．根据几何关系列出总造价为f₁（x）的函数表达式，再根据配方法求出最小值即为所求．
对于（Ⅱ）对于（Ⅰ）中得到的点D，在DA上求一点E，使沿折线PDEO修建公路的总造价最小．设AE=y（km），0≤y≤

5

4

，总造价为f₂（y）万元，求出总造价的f₂（y）的函数表达式，求出其导函数的方法，通过判断在区间上正负问题，讨论区间单调性．然后根据单调性求极值即可得到答案．

解答：解：（Ⅰ）如图，PH⊥α，HB?α，PB⊥AB，
由三垂线定理逆定理知，AB⊥HB，
所以∠PBH是山坡与α所成二面角的平面角，
则∠PBH=θ，PB=

PH

sinθ

=1．
设BD=x（km），0≤x≤1.5，
则PD=

x2+PB2

=

x2+1

∈[1，2]．
记总造价为f₁（x）万元，
据题设有f1(x)=(PD2+1+

1

2

AD+AO)a=(x2-

1

2

x+

11

4

+

3

)a=(x-

1

4

)2a+(

43

16

+

3

)a
当x=

1

4

，即BD=

1

4

(km)时，总造价f₁（x）最小．
（Ⅱ）设AE=y（km），0≤y≤

5

4

，总造价为f₂（y）万元，
根据题设有f2(y)=[PD2+1+

y2+3

+

1

2

(

3

2

-

1

4

-y)]a=(

y2+3

-

y

2

)a+

43

16

a、
则f2′(y)=(

y

y2+3

-

1

2

)a，由f₂′（y）=0，得y=1．
当y∈（0，1）时，f₂′（y）＜0，f₂（y）在（0，1）内是减函数；
当y∈(1，

5

4

)时，f₂′（y）＞0，f₂（y）在(1，

5

4

)内是增函数．
故当y=1，即AE=1（km）时总造价f₂（y）最小，且最小总造价为

67

16

a万元．

点评：此题主要考查导数的定义及利用导数来求区间函数的最值，利用导数研究函数的单调性和极值、解不等式等基础知识，考查综合分析和解决问题的能力，解题的关键是求导要精确．