题目内容
11.设函数f(x)=2x3-3(a-1)x2+1,其中a≥1,(1)求f(x)的单调区间;
(2)讨论f(x)的极值.
分析 (1)先求导数fˊ(x),求出f′(x)=0的值,然后讨论a=1与a>1两种情形,再讨论满足f′(x)=0的点附近的导数的符号的变化情况,从而的函数f(x)的单调区间;
(2)讨论a=1与a>1两种情形,根据(I)可知f′(x)=0的点附近的导数的符号的变化情况,从而的函数f(x)的极值.
解答 解:∵函数f(x)=2x3-3(a-1)x2+1,其中a≥1.
∴f′(x)=6x[x-(a-1)],
令f′(x)=0,解得 x1=0,x2=a-1.
(1)当a=1时,f′(x)=6x2,f(x)在(-∞,+∞)上单调递增,
当a>1时,f′(x)=6x[x-(a-1)],f′(x),f(x)随x的变化情况如下表:
x | (-∞,0) | 0 | (0,a-1) | a-1 | (a-1,+∞) |
f′(x) | + | 0 | - | 0 | + |
f(x) | ↗ | 极大值 | ↘ | 极小值 | ↗ |
在(0,a-1)上单调递减;在(a-1,+∞)上单调递增.
(2)由(1)知,
当a=1时,函数f(x)没有极值.
当a>1时,函数f(x)在x=0处取得极大值,在450处取得极小值1-(a-1)3.
点评 本题主要考查了函数的极值,以及利用导数研究函数的单调性等基础知识,考查综合利用数学知识分析问题、解决问题的能力,属于中档题.
练习册系列答案
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20.(1-i)2•i等于( )
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