Question

选修4-5：不等式选讲
已知a，b，c为实数，且a+b+c+2-2m=0，a²+

1

4

b²+

1

9

c²+m-1=0
（I）求证：a²+

1

4

b²+

1

9

c²≥

(a+b+c)2

14

（II）求实数m的取值范围．

Answer 1

分析：（I）根据柯西不等式直接证明即可；
（II）将（i）中的a、b、c用等式a+b+c+2-2m=0，a²+

b 2

4

+

c 2

9

+m-1=0代入，消去a、b、c得到关于m的不等关系，解之即可求出m的范围．

解答：解：（I）根据柯西不等式可得（a²+

b 2

4

+

c 2

9

）（1+2²+3²）≥(a×1+

b

2

×2+

c

3

×3) 2=（a+b+c）²
∴a²+

b 2

4

+

c 2

9

≥

(a+b+c) 2

14

（II）∵a+b+c+2-2m=0，a²+

b 2

4

+

c 2

9

+m-1=0
∴1-m≥

(2m-2)2

14

解得：-

5

2

≤m≤1．

点评：本题主要考查来了逆矩阵与投影变换，以及圆的参数方程和直线的参数方程，以及不等式的证明等基础知识，是一道综合题，属于中档题．