题目内容
已知函数f（x）=
，若a、b、c互不相等，且f（a）=f（b）=f（c），则a+b+c的取值范围是（ ）
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| A、（1，2014） |
| B、（1，2015） |
| C、（2，2015） |
| D、[2，2015] |
分析：根据题意，在坐标系里作出函数f（x）的图象，根据f（a）=f（b）=f（c），确定a，b，c的大小，即可得出a+b+c的取值范围．
解答：解：作出函数的图象如图，
直线y=m交函数图象于如图，
不妨设a＜b＜c，
由正弦曲线的对称性，可得（a，m）与（b，m）关于直线x=
对称，
因此a+b=1，
当直线y=m=1时，由log2014x=1，
解得x=2014，即x=2014，
∴若满足f（a）=f（b）=f（c），（a、b、c互不相等），
由a＜b＜c可得1＜c＜2014，
因此可得2＜a+b+c＜2015，
即a+b+c∈（2，2015）．
故选：C．
直线y=m交函数图象于如图，
不妨设a＜b＜c，
由正弦曲线的对称性，可得（a，m）与（b，m）关于直线x=
| 1 |
| 2 |
因此a+b=1，
当直线y=m=1时，由log2014x=1，
解得x=2014，即x=2014，
∴若满足f（a）=f（b）=f（c），（a、b、c互不相等），
由a＜b＜c可得1＜c＜2014，
因此可得2＜a+b+c＜2015，
即a+b+c∈（2，2015）．
故选：C．
点评：本题以三角函数和对数函数为例，考查了函数的零点与方程根个数讨论等知识点，利用数形结合，观察图象的变化，从而得出变量的取值范围是解决本题的关键．
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