Question

已知x＞0，y＞0，且x+y＞2．求证：

x

1+2y

，

y

1+2x

中至少有一个大于

1

3

．

Answer 1

分析：假设

x

1+2y

  ≤  

1

3

，

y

1+2x

 ≤ 

1

3

，由条件可得 x+y≤2，这与已知 x+y＞2矛盾，故假设不成立，命题得证．

解答：证明：反证法，假设

x

1+2y

  ≤  

1

3

，

y

1+2x

 ≤ 

1

3

，∵x＞0，y＞0，
∴3x≤1+2y，3y≤1+2x，∴3（x+y）≤2+2（x+y），∴x+y≤2，这与已知 x+y＞2矛盾，故假设不成立，
故

x

1+2y

，

y

1+2x

中至少有一个大于

1

3

．

点评：本题主要考查用反证法证明数学命题，推出矛盾，是解题的关键和难点，属于中档题．