题目内容

是否存在等差数列{a_n}，使a₁c_m⁰+a₂c_m¹+a₃c_m²+…+a_n+1c_mⁿ=n•2^m对任意n∈N^*都成立？若存在，求出数列{a_n}的通项公式；若不存在，请说明理由．

证明：假设存在等差数列a_n=a₁+（n-1）d
满足要求a₁C_n⁰+a₂C_n¹+a₃C_n²+…+a_n+1C_nⁿ=a₁（C_n⁰+C_n¹+…+C_nⁿ）+d（C_n¹+2C_n²+…+nC_nⁿ）（4分）
=a₁•2ⁿ+nd（C_n-1⁰+C_n-1¹+…+C_n-1^n-1）=a₁•2ⁿ+nd•2^n-1
依题意a₁•2ⁿ+nd•2^n-1=n•2ⁿ，2a₁+n（d-2）=0对n∈N⁺恒成立，（10分）
∴a₁=0，d=2，
所求的等差数列存在，其通项公式为a_n=2（n-1）．
分析：假设存在等差数列a_n=a₁+（n-1）d，满足题意，通过对a₁c_m⁰+a₂c_m¹+a₃c_m²+…+a_n+1c_mⁿ=n•2^m整理，找出a₁=0，d=2，即可说明存在数列，求出数列{a_n}的通项公式即可．
点评：本题考查数列的存在性问题，数列求和，数列的应用，以及二项式定理的应用，是难度较大题目．

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