Question

（1）已知关于x的方程|x²-1|=a|x-1|只有一个实数解，则实数a的取值范围为______
（2）设[x]是不超过x的最大整数，则[log₃1]+[log₃2]+[log₃3]+…[log₃100]=______．

Answer 1

解：（1）|x²-1|=a|x-1|，变形得|x-1|（|x+1|-a）=0，
显然，x=1已是该方程的根，从而欲使原方程只有一解，
即要求方程|x+1|=a有且仅有一个等于1的解或无解，
若x=1，则a=2，此时方程有两解，
∴只能方程|x+1|=a无解
∴a＜0．
（2）由题意可知：设[log₃a]=b
log₃a=b+x，a，b为整数
a=3^b+x，0≤x＜1，
因为y=3^x为单调增函数
当a在[1，2]时
因为3⁰=1，3¹=3
则0＜b+x＜1
所以b=0时，[log₃1]+[log₃2]=0
当a在[3，8]时
同理1＜b+x＜2
b=1时，[log₃3]+[log₃4]+…+[log₃8]=1×6
b=2时，[log₃9]+[log₃10]+…+[log₃26]=2×18．
b=3时，[log₃27]+[log₃28]+…+[log₃80]=3×54．
b=4时，[log₃81]+[log₃82]+…+[log₃100]=4×20．
∴[log₃1]+[log₃2]+[log₃3]+[log₃4]+…+[log₃100]=1×6+2×18+3×54+4×20=284；
分析：（1）将方程变形，利用x=1已是该方程的根，从而欲原方程只有一解，即要求方程|x+1|=a有且仅有一个等于1的解或无解，从而可求实数a的取值范围．
（2）由题意知[log₃1]+[log₃2]=0，先根据对数的运算性质判断[log₃3]…[log₃100]的大小，最后加起来即可求解．
点评：本题考查方程根的问题，考查学生分析解决问题的能力，第二问是一个新定义，[x]是不超过x的最大整数，此题是一道中档题；