Question

已知函数f(x)=

1

2

ax2-2xsin2α和函数g（x）=lnx，记F（x）=f（x）+g（x）．
（1）当α=

π

3

时，若f（x）在[1，2]上的最大值是f（2），求实数a的取值范围；
（2）当a=1时，判断F（x）在其定义域内是否有极值，并予以证明；
（3）对任意的α∈[

π

6

，

2

3

π)，若F（x）在其定义域内既有极大值又有极小值，试求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）α=

π

3

时求出函数f(x)=

1

2

ax2-2xsin2α的解析式，利用导数研究出函数在[1，2]上的单调性，及最大值是f（2），建立不等式解出实数a的取值范围；
（2）当a=1时，求出函数的解析式，函数的定义域，利用导数研究函数的极值；
（3）对任意的α∈[

π

6

，

2

3

π)，若F（x）在其定义域内既有极大值又有极小值，可得出其导数在定义域上恒有两个不同的根，解出函数的导数，根据其形式选择合适的方法将导数为0有两个不同根转化为关于参数的不等式，求解．

解答：解：（1）α=

π

3

时，f(x)=

1

2

ax2-

3

2

x．
①当a=0时，f(x)=-

3

2

x，不合题意；[1，2]⊆[

3

2a

，+∞)
②当a＜0时，f(x)=

1

2

ax2-

3

2

x在(-∞，

3

2a

]上递增，在[

3

2a

，+∞)上递减，而，故不合题意；
③当a＞0时，f(x)=

1

2

ax2-

3

2

x在(-∞，

3

2a

]上递减，在[

3

2a

，+∞)上递增，
f（x）在[1，2]上的最大值是max{f（1），f（2）}=f（2），所以f（1）≤f（2），即

1

2

a-

3

2

≤2a-3，所以a≥1．
综上所述，实数a的取值范围是[1，+∞）．
（2）a=1时，F(x)=

1

2

x2-2xsin2α+lnx定义域为（0，+∞），F/(x)=x+

1

x

-2sin2α≥2-2sin2α=2cos2α≥0．
①当cosα≠0时，F′（x）＞0，F（x）在（0，+∞）上单调递增，从而F（x）在其定义域内没有极值；
②当cosα=0时，F/(x)=x+

1

x

-2=

(x-1)2

x

，令F′（x）=0有x=1，但是x∈（0，1）时，F′（x）＞0，F（x）单调递增，x∈（1，+∞）时，F′（x）＞0，F（x）也单调递增，所以F（x）在其定义域内也没有极值．
综上，F（x）在其定义域内没有极值．
（3）据题意可知，令F/(x)=ax+

1

x

-2sin2α=0，即方程ax²-2xsin²α+1=0在（0，+∞）上恒有两个不相等的实数根．即

△=4sin4α-4α＞0 α＞0

恒成立，因为α∈[

π

6

，

2

3

π)，sinα∈[

1

2

，1]，所以0＜a＜

1

16

．

点评：本题考查导数在最大值与最小值问题中的应用，解题的关键是利用导数研究出函数的单调性，判断出函数的最值，本题第三小题是一个恒成立的问题，要转化为导数方程有两个不同根来求解，本题运算量过大，解题时要认真严谨，避免变形运算失误，导致解题失败．