Question

7．已知圆C的半径为2，圆心在x轴正半轴上，直线3x-4y+4=0与圆相切．
（1）求圆C的方程；
（2）已知点Q（0，3），动点P在所求圆C上，求线段PQ中点M的轨迹方程；
（3）过点Q（0，-3）的直线l与圆C交于不同的两点A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），且x₁x₂+y₁y₂=3，求△ABC的面积．

Answer 1

分析 （1）设圆心为C（a，0），（a＞0），可得圆C的方程的方程．再根据圆心到直线的距离等于半径求得a的值，可得圆C的方程．
（2）设M（x，y），P（a，b），由题意，M是PQ的中点，所以2x=a，2y=3+b，了代入法求M 的轨迹；
（3）依题意：设直线l的方程为：y=kx-3，代入圆的方程化简，利用根与系数的关系表示x1+x2，x1x2，再由x₁x₂+y₁y₂=3，求得k的值，可得∴直线l的方程．求得圆心C到l的距离d、以及|AB|的值，再由三角形面积公式可得．

解答 解：（1）设圆心为C（a，0），（a＞0），则圆C的方程为（x-a）²+y²=4．
因为圆C与3x-4y+4=0相切，所以$\frac{|3a+4|}{\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}}$=2，解得：a=2或a=-$\frac{14}{3}$（舍），
所以圆C的方程为：（x-2）²+y²=4．…（4分）
（2）设M（x，y），P（a，b），由题意，M是PQ的中点，所以2x=a，2y=3+b，
所以a=2x，b=2y-3，即P（2x，2y-3）在圆C上，
所以：（2x-2）²+（2y-3）²=4为M的轨迹方程；
（3）依题意：设直线l的方程为：y=kx-3，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=kx-3}\\{（x-2）^{2}+{y}^{2}=4}\end{array}\right.$得（1+k²）x²-（4+6k）x+9=0，
∵l与圆C相交于不同两点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
∴△=（4+6k²）-4（1+k²）×9＞0，且x1+x2=$\frac{4+6k}{1+{k}^{2}}$，x1x2=$\frac{9}{1+{k}^{2}}$，
∴y1y2=（kx1-3）（kx2-3）=k2•x1x2-3k（x1x₂）+9=$\frac{9{k}^{2}}{1+{k}^{2}}$-$\frac{12k+18{k}^{2}}{1+{k}^{2}}$+9，
又∵x₁x₂+y₁y₂=3，
∴$\frac{9}{1+{k}^{2}}$+$\frac{9{k}^{2}}{1+{k}^{2}}$-$\frac{12k+18{k}^{2}}{1+{k}^{2}}$+9=3，
整理得：k²+4k-5=0解得k=1或k=-5（舍）．
∴直线l的方程为：y=x-3．…（8分）
圆心C到l的距离d=$\frac{|2-3|}{\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，在△ABC中，∵|AB|=2$\sqrt{{2}^{2}-\frac{1}{2}}$=$\sqrt{14}$，
原点O到直线l的距离，即△AOB底边AB边上的高h=$\frac{3}{\sqrt{2}}$=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$，
∴S△AOB=$\frac{1}{2}$|AB|•h=$\frac{1}{2}$•$\sqrt{14}$•$\frac{3\sqrt{2}}{2}$=$\frac{3\sqrt{7}}{2}$．…（12

点评 本题主要考查直线和圆相交的性质，求圆的标准方程，代入法求轨迹方程、一元二次方程根与系数的关系，属于中档题．