Question

在Rt△ABC中，∠C=90°，以斜边AB所在直线为轴将△ABC旋转一周生成两个圆锥，设这两个圆锥的侧面积之积为S₁，△ABC的内切圆面积为S₂，记=x. 

(1)求函数f(x)=的解析式并求f(x)的定义域.

(2)求函数f(x)的最小值.

Answer 1

解析:

(1）如图所示:设BC=a,CA=b,AB=c,则斜边AB上的高h=,

∴S₁=πah+πbh=

∴f(x)=                 ①

又 

代入①消c，得f(x)=.

在Rt△ABC中，有a=csinA,b=ccosA(0＜A＜,则

x==sinA+cosA=sin(A+). ∴1＜x≤.

(2)f(x)= +6,

设t=x－1,则t∈(0, －1),y=2(t+)+6

在(0，－1上是减函数，

∴当x=(－1)+1=时，f(x)的最小值为6+8.