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精英家教网已知A，B是单位圆上的两点，O为圆心，且∠AOB=120°，MN是圆O的一条直径，点C在圆内，且满足
OC
=λ
OA
+（1-λ）
OB
（0＜λ＜1）．
（Ⅰ）求证：点C在线段AB上；
（Ⅱ）求
CM
•
CN
的取值范围．
分析：（Ⅰ）由于
OC
=λ
OA
+（1-λ）
OB
（0＜λ＜1），可得
OC
-
OB
=λ(
OA
-
OB
)，即
BC
=λ
BA
，由于0＜λ＜1，可得
BC
，
BA
同向平行，且|
BC
|＜|
BA
|，即可证明．
（Ⅱ）利用向量的数量积运算可得
CM
•
CN
=(
OM
-
OC
)•(
ON
-
OC
)=
OM
•
ON
-
OC
•(
OM
+
ON
)+
OC
2=-1+
OC
2．由于∠AOB=120°，点C在线段AB上，可得|
OC
|∈[
1
2
，1)，即可得出．
解答：（Ⅰ）证明：∵
OC
=λ
OA
+（1-λ）
OB
（0＜λ＜1），
∴
OC
-
OB
=λ(
OA
-
OB
)，即
BC
=λ
BA
，
∵0＜λ＜1，
∴
BC
，
BA
同向平行，且|
BC
|＜|
BA
|，
∴点C在线段AB上；
（Ⅱ）解：
CM
•
CN
=(
OM
-
OC
)•(
ON
-
OC
)=
OM
•
ON
-
OC
•(
OM
+
ON
)+
OC
2=-1+
OC
2．
∵∠AOB=120°，点C在线段AB上；
∴|
OC
|∈[
1
2
，1)，
∴
CM
•
CN
∈[-
3
4
，0)．
点评：本题考查了向量数量积运算和共线定理，属于中档题．
练习册系列答案
相关题目
（2011•聊城一模）已知A，B是单位圆（O为圆心）上的两个定点，且∠AOB=60°，若C为该圆上的动点，且
OC
=x
OA
+y
OB
(x，y∈R)，则xy的最大值为（　　）
已知A、B是单位圆O上的动点，且A、B分别在第一、二象限，C是圆O与x轴正半轴的交点，△AOB为等腰直角三角形，记∠AOC=α．
（1）求A点的坐标为（
3
5
，
4
5
），求
sin2α+sin2α
cos2α+cos2α
的值；
（2）求|BC|的取值范围．
已知A，B是单位圆上的两点，O为圆心，且∠AOB=120°，MN是圆O的一条直径，点C在圆内，且满足
OC
=λ
OA
+（1-λ）
OB
（0＜λ＜1），则
CM
?
CN
的取值范围是（　　）
A、[-
1
2
，1）
B、[-1，1）
C、[-
3
4
，0）
D、[-1，0）
已知A，B是单位圆上的动点，且|AB|=
3
，单位圆的圆心为O，则
OA
?
AB
=（　　）
A、-
3
2
B、
3
2
C、-
3
2
D、
3
2

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