题目内容

如图，三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AA₁⊥平面ABC，AA₁= $数学公式$ =3，AB=2，BC=1．
（1）证明：BC⊥平面ACC₁A₁．
（2）D为CC₁中点，在棱AB上是否存在一点E，使DE∥平面AB₁C₁，证明你的结论．
（3）求二面角B-AB₁-C₁的余弦值的大小．

（1）证明：在矩形ACC₁A₁中，AA₁= $\text{[math]}$ =3，AB=2，BC=1
∴AB²=AC²+BC²
∴BC⊥AC
∵AA₁⊥平面ABC，
∴AA₁⊥BC
∵AA₁∩AC=A
∴BC⊥平面ACC₁A₁；
（2）解：分别取BB₁中点M和AB中点E，由DM∥B₁C₁，EM∥AB₁，得平面EMD∥平面AB₁C₁，∴DE∥平面AB₁C₁，
即E为AB中点时，DE∥平面AB₁C₁；
（3）解：以C为坐标原点，CB，CC₁，CA所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，

则C（0，0，0），B（1，0，0），A（0，0， $\text{[math]}$ ），C₁（0， $\text{[math]}$ ，0），B₁（1， $\text{[math]}$ ，0），A₁（0， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ），D（0， $\text{[math]}$ ，0）
设 $\text{[math]}$ 是平面ABB₁的一个法向量
由 $\text{[math]}$ 可得 $\text{[math]}$ ，∴可取 $\text{[math]}$ =（ $\text{[math]}$ ）
∵ $\text{[math]}$ 是平面AB₁C₁的一个法向量，且 $\text{[math]}$ 与二面角B-AB₁-C₁的大小相等
∴cos $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ =- $\text{[math]}$
∴所求二面角B-AB₁-C₁的余弦值的大小为- $\text{[math]}$ ．
分析：（1）先证明BC⊥AC，由AA₁⊥平面ABC，可得AA₁⊥BC，利用线面垂直的判定，可得结论；
（2）分别取BB₁中点M和AB中点E，可得平面EMD∥平面AB₁C₁，从而DE∥平面AB₁C₁；
（3）建立空间直角坐标系，求出平面ABB₁的一个法向量 $\text{[math]}$ =（ $\text{[math]}$ ）， $\text{[math]}$ 是平面AB₁C₁的一个法向量，且 $\text{[math]}$ 与二面角B-AB₁-C₁的大小相等，从而可求二面角B-AB₁-C₁的余弦值的大小．
点评：本题主要考查二面角的计算，直线和平面垂直、平行的性质、判定，考查学生空间想象能力，计算能力、转化能力