题目内容

已知P1（x1，y1），P2（x2，y2）是函数f(x)=
2x
2x+
2
图象上的两点，且
OP
=
1
2
(
OP1
+
OP2
)，点P、A、B共线，且
CP
=x1
CA
+x2
CB

（1）求P点坐标
（2）若S2011=
2010
i=1
f(
i
2011
)，求S2011
（3）若Sn=
n
i=1
f(
i
n
)，记Tn为数列{
1
(Sn+
2
)(Sn+1+
2
)
}前n项的和，若Tn＜a(Sn+1+
2
)时，对一切n∈N*都成立，试求a的取值范围．
分析：（1）由P．A．B共线且
CP
=x1
CA
+x2
CB
，可求x1+x2=1，结合已知函数解析式可寻求f（x）与f（1-x）的函数值的关系，从而可求P
（2）结合（1）中f（x）与f（1-x）的和的关系，利用倒序相加求和即可求解
（3）利用倒序相加可求Sn，代入之后利用裂项相加可求Tn，进而可求a的范围
解答：解（1）∵P．A．B共线且
CP
=x1
CA
+x2
CB
，
∴x1+x2=1
又∵f(x)+f(1-x)=
2x
2x+
2
+
21-x
21-x+
2
=
2x
2x+
2
+
2
2x+
2
=1
∴P(
1
2
，
1
2
)
（2）S2011=
2010
i=1
f(
i
2011
)=f(
1
2011
)+f(
2
2011
)+…+f(
2009
2011
)+f(
2010
2011
)
∴S2011=f(
2010
2011
)+f(
2009
2011
)+…f(
2
2011
)+f(
1
2011
)
∴2S2011=2010⇒S2011=1005
（3）Sn=
n
i=1
f(
i
n
)=f(
1
n
)+f(
2
n
)+…f(
n-1
n
)+f(1)
∴Sn=f(1)+f(
n-1
n
)+…f(
2
n
)+f(
1
n
)
∴Sn=
n+3
2
-
2

令bn=
1
(Sn+
2
)(Sn+1+
2
)
=
4
(n+3)(n+4)

∴Tn=
2n
n+2
，
2n
n+2
＜a
n+2
2
⇒a＞
4n
(n+2)2
=
4n
n2+4n+4
=
4
n+
4
n
+4

∴a＞
1
8
点评：本题主要考查了向量基本定理的应用及倒序相加、裂项求和方法的应用，体现了数列与函数知识的综合应用
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（2006•宣武区一模）已知P1（x1，y1）是直线l：f（x，y）=0上的一点，P2（x2，y2）是直线l外的一点，由方程f（x，y）+f（x1，y1）+f（x2，y2）=0表示的直线与直线l的位置关系是（　　）
已知P1（x1，y1），P2（x2，y2）是直线ax+by+c=0（b≠0）上的两点，则P1P2的长是（　　）
A、
a2+b2
|b|
|x1-x2|
B、
1
a2+b2
|x1-x2|
C、
a2+b2
|x1-x2|
D、
a2+b2
|b|
|x1+x2|
已知P1（x1，y1）、P2（x2，y2）是抛物线y2=2Px（P＞0）上两个不同点，则y1·y2=-P2是直线P1P2过焦点的（    ）

A.充分不必要条件                     B.必要不充分条件

C.充要条件                              D.既不充分也不必要条件
已知P1（x1，y1），P2（x2，y2）是函数图象上的两点，且，点P、A、B共线，且
（1）求P点坐标
（2）若，求S2011
（3）若，记Tn为数列前n项的和，若时，对一切n∈N*都成立，试求a的取值范围．

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