Question

小王参加2012年度某项劳动技能考试．考试按科目A，B依次进行，只有科目A合格后才能继续参加科目B的考试．每个科目本年度只有一次补考机会，只有两个科目都合格才能获得该项劳动技能合格证．已知他每次参加科目A考试合格的概率均为

1

2

，每次参加科目B考试合格的概率均为

2

3

，且各次考试是否合格互不影响．
（1）求小王不用补考就顺利获得2012年度该项劳动技能合格证的概率；
（2）记小王参加2012年度该项劳动技能考试的次数为ξ（含可能的补考次数），求随机变量ξ的分布列．

Answer 1

分析：（1）利用相互独立事件的概率公式，可求小王不用补考就顺利获得2012年度该项劳动技能合格证的概率；
（2）确定随机变量ξ的可能取值，求出相应的概率，即可求随机变量ξ的分布列．

解答：解：（1）设小王参加科目A考试合格与补考合格分别为事件A₁，A₂，参加科目B考试合格与补考合格分别为事件B₁，B₂．
由已知，P(A1)=P(A2)=

1

2

，P(B1)=P(B2)=

2

3

．           …（2分）
又A₁，B₁相互独立，所以P（“小王不用补考就顺利获得2012年度该项劳动技能合格证”）=P（A₁B₁）=P(A1)P(B1)=

1

2

×

2

3

=

1

3

．                            …（5分）
故小王不用补考就顺利获得2012年度该项劳动技能合格证的概率为

1

3

． …（6分）
（2）随机变量ξ的可能取值为2，3，4．                         …（7分）
则P(ξ=2)=P(A1B1+

.

A

1

.

A

2)=P(A1)P(B1)+P(

.

A

1)P(

.

A

2)=

1

2

×

2

3

+

1

2

×

1

2

=

7

12

，…（8分）

P(ξ=3)=P( . A 1A2B1+A1 . B 1B2+A1 . B 1 . B 2)=P( . A 1)P(A2)P(B1)+P(A1)P( . B 1)P(B2) +P(A1)P( . B 1)P( . B 2)= 1 2 × 1 2 × 2 3 + 1 2 × 1 3 × 2 3 + 1 2 × 1 3 × 1 3 = 1 3 …(10分)

P(ξ=4)=P(

.

A

1A2

.

B

1)=P(

.

A

1)P(A2)P(

.

B

1)=

1

2

×

1

2

×

1

3

=

1

12

…（11分）
所以随机变量ξ的分布列为：

ξ	2	3	4
P	7 12	1 3	1 12

…（12分）

点评：本题考查概率知识的运用，考查离散型随机变量的分布列，正确求概率是关键．