Question

如图，在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AD=AA₁=1，AB=2，E、F分别为线段AB、D₁C的中点．
（I）求证：EF∥平面A₁D；
（II）求V的值．

Answer 1

证明：（Ⅰ）取DD₁的中点G，连结FG、AG，
依题意可知：GF是△CDD₁的中位线，
则 GF∥且GF=，
AE∥ 且AE=，
所以GF∥AE，且GF=AE，即四边形AEFG为平行四边形，…（3分）
则EF∥AG，又AG?平面AD₁，EF?平面AD₁，
所以EF∥平面AD₁．…（6分）
（Ⅱ）解：=×AE===．
===．
=1
∴V的值为1．…（12分）
分析：（Ⅰ）取DD₁的中点G，连结FG、AG，证明四边形AEFG为平行四边形，利用直线与平面平行的判定定理证明EF∥平面A₁D；
（II）通过体积公式直接求V的体积然后求解比值．
点评：本题考查直线与平面平行的判定定理的应用，几何体是体积的求法，考查计算能力．