Question

（12分）设函数f(x)=lnx-px+1(1)当P>0时，若对任意x>0，恒有f(x)≤0,求P的取值范围（2）证明：    (n∈N，n≥2)

Answer 1

（1）P≥1（2）

解析:

：（1）f(x)=ln₂x-px+1定义域（0，+∞）,f′(x)=-p==

   当P>0时，令f′(x)=0,x=（0，+∞）…………3分

当x∈(0, )时，f′(x)>0   f(x)为增函数，

当x∈( ，+∞)时f′(x)<0   f(x)为减函数。f(x)_max=f()=ln

要使f(x)≤0恒成立只要f()=ln≤0∴P≥1………5分

（2）令P=1 由（1）知：lnx-x+1≤0∴lnx≤x-1   n≥2

lnn²≤n²-1     ………8分

∴

   =(n-1)-()<(n-1)-[]

=(n-1)-(+)=(n-1)-()=…12分