题目内容
已知f（x）是定义在R上的不恒为零的函数，且对于任意非零的实数a，b∈R，满足f（ab）=
+
，f(2)=
，an=
（n∈N*），bn=2n•f(2n)（n∈N*）．考查下列结论：①f（-1）=f（1）；②f（x）为偶函数；③数列{an}为等比数列；④{bn}为等差数列．其中正确的是（ ）
| f(b) |
| a |
| f(a) |
| b |
| 1 |
| 2 |
| f(2n) |
| n |
分析：①利用赋值法证明f（-1）=f（1）；②根据函数奇偶性的定义证明；③根据等比数列的定义进行判断；④根据等差数列的定义进行判断．
解答：解：①令a=b=1，则f（1）=
+
=2f(1)，∴f（1）=0，
令a=-1，b=-1，得f（1）=
+
=-2f(-1)=0，∴f（-1）=0，即f（-1）=f（1）成立，∴①正确．
②令a=-1，b=-2，则f（2）=f（-1×（-2））=
+
=-f(-2)，
即f（-2）=-f（2）=-
，∴不满足f（-x）=f（x），∴f（x）不是偶函数，∴②错误．
③∵f（ab）=
+
，f(2)=
，
∴f（2n）=f（2•2n-1）=
+
=
+
=…=
，
∴an=
=
，∴
=
，
即数列{an}为等比数列，∴③正确．
④bn=2n•
=n，∴{bn}为等差数列，∴④正确．
故正确的是①③④．
故选：B．
| f(1) |
| 1 |
| f(1) |
| 1 |
令a=-1，b=-1，得f（1）=
| f(-1) |
| -1 |
| f(-1) |
| -1 |
②令a=-1，b=-2，则f（2）=f（-1×（-2））=
| f(-2) |
| -1 |
| f(-1) |
| -2 |
即f（-2）=-f（2）=-
| 1 |
| 2 |
③∵f（ab）=
| f(b) |
| a |
| f(a) |
| b |
| 1 |
| 2 |
∴f（2n）=f（2•2n-1）=
| f(2n-1) |
| 2 |
| f(2) |
| 2n-1 |
| f(2n-1) |
| 2 |
| 1 |
| 2n |
| n |
| 2n |
∴an=
| f(2n) |
| n |
| 1 |
| 2n |
| an |
| an-1 |
| 1 |
| 2 |
即数列{an}为等比数列，∴③正确．
④bn=2n•
| n |
| 2n |
故正确的是①③④．
故选：B．
点评：本题主要考查与数列有关的信息题，正确理解条件的意义，是解决本题的关键，综合性较强，难度较大．
练习册系列答案
相关题目