Question

某公司今年年初用25万元引进一种新的设备，投入设备后每年收益为21万元．该公司第n年需要付出设备的维修和工人工资等费用a_n的信息如图．
（1）求a_n；
（2）这种设备使用多少年，该公司的年平均获利最大？

Answer 1

分析：（1）由已知中公司第n年需要付出设备的维修和工人工资等费用的和a_n的信息图，可得每年的费用是以2为首项，2为公差的等差数列，根据等差数列通项公式的定义，易得答案．
（2）根据（1）中纯收入与年数n的关系式，除以n后，即可得到年平均收入利用基本不等式，即可求出这种设备使用多少年时，该公司的年平均获利最大．

解答：解：（1）由题意知，每年的费用是以2为首项，2为公差的等差数列，并求得：a_n=a₁+2（n-1）=2n…（3分）
（2）设第n年后获利为y万元，则

y=21n-Sn-25 =21n-[2n+ n(n-1) 2 •2]-25=20n-n2-25

，平均获利为

y n = 21n-25-(2+4+…+2n) n = -n2+20n-25 n =-(n+ 25 n )+20≤-2 n• 25 n +20=10 当且仅当n=5时取等号．

所以这种设备使用5年，该公司的年平均获利最大．

点评：本题考查的知识点是函数模型的选择与应用，数列的应用，应注意n∈N*这个受实际情况限制的条件，从而给出合理的取值．