Question

已知数列{x_n}，{y_n}满足x₁=y₁=1，x₂=y₂=2，并且x_n+1-（λ+1）x_n+λx_n-1=0，y_n+1-（λ+1）y_n+λy_n-1≥0（λ为非零参数，n=2，3，4，…）．
（1）若x₁，x₃，x₅成等比数列，求参数λ的值；
（2）当λ＞0时，证明x_n+1-y_n+1≤x_n-y_n（n∈N^*）；
（3）设0＜λ＜1，k∈N^*，证明：（x₂-x₁）+（x₄-x₂）+（x₆-x₃）+…+（x_2k-x_k）＜

1

(1-λ)2

(k∈N*)．

Answer 1

分析：（1）利用x₁=1，x₂=2，x_n+1-（λ+1）x_n+λx_n-1=0，即可得到x₃，x₄，x₅，再利用等比数列的定义即可得出λ的值；
（2）利用数学归纳法证明即可；
（3）由x_n+1-（λ+1）x_n+λx_n-1=0，可得x_n+1-x_n=λ（x_n-x_n-1），即xn-xn-1=(x2-x1)•λn-2=λn-2，利用“累加求和”可得x_n，再利用等比数列的前n项和公式即可得出不等式的左边，进而证明小于右边．

解答：解：（1）∵x₁=1，x₂=2，x_n+1-（λ+1）x_n+λx_n-1=0，
∴x₃=（λ+1）x₂-λx₁=2（λ+1）-λ=λ+2．
x₄=（λ+1）（λ+2）-2λ=λ²+λ+2．
x5=(λ+1)(λ2+λ+2)-λ(λ+2)=λ³+λ²+λ+2．
∵x₁，x₃，x₅成等比数列，∴

x

2 3

=x1•x5，
∴（λ+2）²=1×（λ²+λ+2），解得λ=-2．
（2）下面利用数学归纳法证明：
①当n=1时，x₂-x₁=2-1=y₂-y₁，∴x₂-y₂≤x₁-y₁成立；
②假设当n=k时，x_k+1-x_k≤y_k+1-y_k成立，即x_k+1-y_k+1≤x_k-y_k成立．
则当n=k+1时，∵λ＞0，∴x_k+2-x_k+1=λ（x_k+1-x_k）≤λ（y_k+1-y_k）≤y_k+2-y_k+1成立，
即x_k+2-y_k+2≤x_k+1-y_k+1成立．
即命题定义n=k+1时也成立．
综上可知：命题定义任意n∈N^*都成立．
（3）由x_n+1-（λ+1）x_n+λx_n-1=0，可得x_n+1-x_n=λ（x_n-x_n-1），
∴xn-xn-1=(x2-x1)•λn-2=λn-2，
∴x_n=（x_n-x_n-1）+（x_n-1-x_n-2）+…+（x₃-x₂）+（x₂-x₁）+x₁
=λ^n-2+λ^n-3+…+λ+1+1=

λn-1-1

λ-1

+1．（0＜λ＜1）．
∴x2k=

λ2k-1-1

λ-1

+1．
∴x_2k-x_k=

λ2k-1-λk

λ-1

∴左边=（x₂-x₁）+（x₄-x₂）+（x₆-x₃）+…+（x_2k-x_k）
=

1

λ-1

[（λ+λ³+…+λ^2k-1）-（λ+λ²+…+λ^k）]
=

1

λ-1

[

λ(λ2k-1)

λ2-1

-

λk-1

λ-1

]
=

1

1-λ

(1-λk)(1-λk+1)

1-λ2

=

1

(1-λ)2

•

(1-λk)(1-λk+1)

1+λ

＜

1

(1-λ)2

．=右边．
故不等式成立．

点评：熟练掌握等比数列的定义、通项公式、前n项和公式、数学归纳法、“累加求和”等是解题的关键．