Question

如图，ABC-A′B′C′是正三棱柱，底面边长为a，D、E分别是BB′、CC′上的一点，BD=

1

2

a，EC=a．
（1）求证：平面ADE⊥平面ACC′A′；
（2）求截面△ADE的面积．

Answer 1

分析：（1）分别取A′C′、AC的中点M、N，利用正三棱柱的性质及线面垂直的判定定理即可得出B′M⊥平面A′ACC′，假设MN与AE交于点P，再证明PNBD是矩形，可得PD⊥平面ACC′A′，从而证明结论；
（2）利用（1）可知：PD⊥AE，分别计算出PD，AE，再利用三角形的面积公式即可得出．

解答：（1）证明：分别取A′C′、AC的中点M、N，连接MN，B′M，BN，则MN∥A′A∥B′B，
∴B′、M、N、B共面，B′M⊥A′C′，
又B′M⊥AA′，∴B′M⊥平面A′ACC′．
设MN交AE于P，∵CE=AC，∴PN=NA=

a

2

，
又DB=

a

2

，∴PN=BD．
∵PN∥BD，∴PNBD是矩形，
于是PD∥BN，BN∥B′M，∴PD∥B′M，
∵B′M⊥平面ACC′A′，
∴PD⊥平面ACC′A′，PD?平面ADE，
∴平面ADE⊥平面ACC′A′．
（2）解：PD⊥平面ACC′A′，
∴PD⊥AE，PD=B′M=

3

2

a，AE=

2

a．
∴S_△ADE=

1

2

×AE×PD=

1

2

×

3

2

a×

2

a=

6

4

a²．

点评：熟练掌握正三棱柱的性质、线面与面面垂直的判定和性质定理、三角形的面积计算公式是解题的关键．