Question

设，，其中m是不等于零的常数，
（1）（理）写出h（4x）的定义域；
（文）m=1时，直接写出h（x）的值域；
（2）（文、理）求h（x）的单调递增区间；
（3）已知函数f（x）（x∈[a，b]），定义：f₁（x）=minf（t）|a≤t≤x（x∈[a，b]），f₂（x）=maxf（t）|a≤t≤x（x∈[a，b]）．其中，minf（x）|x∈D表示函数f（x）在D上的最小值，maxf（x）|x∈D表示函数f（x）在D上的最大值．例如：f（x）=cosx，x∈[0，π]，则f₁（x）=cosx，x∈[0，π]，f₂（x）=1，x∈[0，π]．
（理）当m=1时，设，不等式t≤M₁（x）-M₂（x）≤n恒成立，求t，n的取值范围；
（文）当m=1时，|h₁（x）-h₂（x）|≤n恒成立，求n的取值范围．

Answer 1

解：理（1）∵，
∴
∴h（4x）的定义域为
（2）
m＜0时，h（x）在递增；
时，h（x）在递增
时，h（x）在递增
（3）由题知：
所以，h（x）＞h（4x）
h（x）=h（4x）
h（x）＜h（4x）






∴
文：（1）
（2）m＜0时，h（x）在递增
时，h（x）在递增
时，h（x）在递增
（3）



所以
分析：（1）令4x在h（x）的定义域内，求出x的范围，写出区间形式即为h（4x）的定义域．
（2）对m分类讨论，利用导函数的符号，当导函数大于0时对应的区间为递增区间；导函数小于0时，对应的区间为递减区间；求出函数的单调区间．
（3）通过解不等式，比较出h（x）与h（4x）的大小，求出m（x）的解析式；求出M₁（x），M₂（x）求出M₁（x）-M₂（x）的值域，求出t，n的范围．
点评：本题考查抽象函数的定义域的求法：知f（x）的定义域为[a，b]，求f（mx+n）的定义域只要解不等式a≤mx+n≤b即可、考查研究函数的单调区间时，若含参数一般需要讨论．分段函数的处理方法是先分再合的策略．