Question

（1）已知Z是复数，求证：①|Z|2=Z•

.

Z

；②

.

Z- . Z

=

.

Z

-Z；
（2）已知z₁，z₂是复数，若|z₁-

.

z2

|=|1-z₁z₂|，求证：|z₁|，|z₂|中至少有一个值为1．

Answer 1

分析：（1）设 z=a+bi，a、b∈R，分别代入两个等式的左右两边化简，即可证得等式成立．
（2）把已知条件两边平方，利用共轭复数的性质化简可得z₁

.

z1

+z₂

.

z2

=1+z₁z₂

.

z1

.

z2

，可得（|z₁|²-1）（|z₂|²-1）
=0，从而有|z₁|，|z₂|中至少有一个为1．

解答：解：（1）设 z=a+bi，a、b∈R，
∵|Z|²=a²+b²，Z•

.

Z

=9a+bi）（a-bi）=a²+b²，∴①|Z|2=Z•

.

Z

 成立．
∵

.

Z- . Z

=

.

(a+bi)-(a-bi)

=-2bi，

.

Z

-Z=（a-bi）-（a+bi）=-2bi，∴②

.

Z- . Z

=

.

Z

-Z成立．
（2）∵|z₁-

.

z2

|=|1-z₁z₂|，∴|z₁-

.

z2

|² =|1-z₁z₂|² ．
∴（z₁-

.

z2

） （

.

z1- . z2

 ）=（1-z₁z₂）（1-

.

1-z1z2

 ）．
∴（z₁-

.

z2

）（

.

z1

-z₂）=（ 1-z₁z₂）（1-

.

z1

.

z2

）．
化简后得z₁

.

z1

+z₂

.

z2

=1+z₁z₂

.

z1

.

z2

．
∴|z₁|²+|z₂|²=1+|z₁|²•|z₂|²．∴（|z₁|²-1）（|z₂|²-1）=0．
∴|z₁|²=1，或|z₂|²=1．∴|z₁|，|z₂|中至少有一个为1．

点评：本题主要考查共轭复数的定义和性质，两个复数代数形式的乘除法，求复数的模的方法，属于基础题．