题目内容
7.设函数f(x)=lnx+$\frac{k}{x}$,曲线y=f(x)在(1,f(1))处的切线与x轴平行.(1)求k的值;
(2)令函数h(x)=f(x)-f($\frac{1}{x}$).
①判断函数h(x)的零点个数,并说明理由;
②求证:ln$\frac{1}{n}$>$\frac{n+1}{2n}$-(1+$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$…+$\frac{1}{n}$)(n>1,n∈N*).
分析 (1)求出函数的导数,求得切线的斜率,由题意可得1-k=0,即可得到k=1;
(2)①函数h(x)有且只有一个零点.求得函数h(x)的导数,求得单调区间,即h(x)在(0,+∞)递减,又h(1)=0,即可得到;
②由①知,当x∈(0,1),h(x)>h(1)=0,即有lnx>$\frac{1}{2}$(x-$\frac{1}{x}$),分别令x=$\frac{1}{2}$,$\frac{2}{3}$,…,$\frac{n-1}{n}$,得到不等式,累加,结合对数的性质,化简整理即可得证.
解答 解:(1)函数f(x)=lnx+$\frac{k}{x}$的导数为f′(x)=$\frac{1}{x}$-$\frac{k}{{x}^{2}}$,
曲线y=f(x)在(1,f(1))处的切线与x轴平行,
可得f′(1)=0,即1-k=0,
解得k=1;
(2)①函数h(x)有且只有一个零点.
理由如下:由(1)知,f(x)=lnx+$\frac{1}{x}$,
h(x)=lnx+$\frac{1}{x}$-(ln$\frac{1}{x}$+x)=2lnx+$\frac{1}{x}$-x,
h′(x)=$\frac{2}{x}$-$\frac{1}{{x}^{2}}$-1=-$\frac{(x-1)^{2}}{{x}^{2}}$≤0,
h(x)在(0,+∞)递减,又h(1)=0,
即有h(x)在(0,+∞)有且只有一个零点;
②证明:由①知,当x∈(0,1),h(x)>h(1)=0,即2lnx+$\frac{1}{x}$-x>0,
则lnx>$\frac{1}{2}$(x-$\frac{1}{x}$),
令x=$\frac{1}{2}$,则ln$\frac{1}{2}$>$\frac{1}{2}$($\frac{1}{2}$-2),
x=$\frac{2}{3}$,则ln$\frac{2}{3}$>$\frac{1}{2}$($\frac{2}{3}$-$\frac{3}{2}$),
x=$\frac{3}{4}$,则ln$\frac{3}{4}$>$\frac{1}{2}$($\frac{3}{4}$-$\frac{4}{3}$),
…
x=$\frac{n-1}{n}$,则ln$\frac{n-1}{n}$>$\frac{1}{2}$($\frac{n-1}{n}$-$\frac{n}{n-1}$),
累加可得,ln$\frac{1}{2}$+ln$\frac{2}{3}$+…+ln$\frac{n-1}{n}$>$\frac{1}{2}$($\frac{1}{2}$-2+$\frac{2}{3}$-$\frac{3}{2}$+…+$\frac{n-1}{n}$-$\frac{n}{n-1}$)
即ln$\frac{1}{2}$•$\frac{2}{3}$…$\frac{n-1}{n}$>$\frac{1}{2}$[-2+($\frac{1}{2}$-$\frac{3}{2}$)+($\frac{2}{3}$-$\frac{4}{3}$)+…+($\frac{n-2}{n}$-$\frac{n}{n-1}$)+$\frac{n-1}{n}$]
=$\frac{n-1}{2n}$-(1+$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{n-1}$)
=$\frac{n+1}{2n}$-(1+$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{n-1}$+$\frac{1}{n}$),
即ln$\frac{1}{n}$>$\frac{n+1}{2n}$-(1+$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$…+$\frac{1}{n}$)(n>1,n∈N*).
点评 本题考查导数的运用:求切线方程和单调区间,同时考查函数的零点的求法和不等式的证明,注意运用累加法,考查运算和推理能力,属于中档题.
A. | $\frac{3\sqrt{5}}{5}$ | B. | $\frac{\sqrt{6}}{2}$ | C. | $\frac{\sqrt{15}}{3}$ | D. | $\frac{\sqrt{21}}{3}$ |
A. | $\frac{5}{3}$ | B. | $\frac{3}{2}$ | C. | 2 | D. | 1 |
x1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
y1 | 2.5 | 4 | 5 | 6 | 7.5 |
(2)当使用年份为9年时,试估计返厂所需要支出的费用是多少?
(在线性回归方程$\widehat{y}$=$\widehat{b}$x$\widehat{a}$中,$\widehat{b}$=$\frac{\underset{\stackrel{n}{∑}}{n+1}{x}_{1}{y}_{1}-n\widehat{x}\widehat{y}}{\underset{\stackrel{n}{∑}}{n-1}{x}_{1}^{2}-n\widehat{x}}$,$\widehat{a}$=$\widehat{y}$-$\widehat{b}$x,$\widehat{x}$,$\widehat{y}$为样本平均值)
转速x(转/秒) | 16 | 14 | 12 | 8 |
每小时生产有缺点的零件数y件) | 11 | 9 | 8 | 5 |
(2)若实际生产中,允许每小时的产品中有缺点的零件最多为10个,那么机器的运转速度应控制在什么范围内?(精确到0.0001)
参考公式:$\left\{\begin{array}{l}\hat b=\frac{{\sum_{i=1}^n{({x_i}-\overline x)({y_i}-\overline y)}}}{{\sum_{i=1}^n{{{({x_i}-\overline x)}^2}}}}=\frac{{\sum_{i=1}^n{{x_i}{y_i}-n\overline x\overline y}}}{{\sum_{i=1}^n{x_i^2-n{{\overline x}^2}}}}\\ \hat a=\overline y-\hat b\overline x\end{array}\right.$.
A. | 12 | B. | 18 | C. | 24 | D. | 30 |
X | 0 | 1 | 2 | 3 |
Pi | $\frac{1}{6}$ | $\frac{1}{3}$ | $\frac{1}{6}$ | p |
A. | $\frac{2}{3}$ | B. | $\frac{4}{3}$ | C. | $\frac{5}{3}$ | D. | $\frac{7}{6}$ |