Question

设F₁、F₂分别为椭圆C：＝1(a＞b＞0)的左、右焦点，过F₂的直线l与椭圆C相交于A，B两点，直线l的倾斜角为60°，F₁到直线l的距离为2.

(1)求椭圆C的焦距；

(2)如果＝2，求椭圆C的方程．

 

Answer 1

【答案】

设焦距为2c，则F₁(－c,0)，F₂(c,0)

∵k_l＝tan60°＝

∴l的方程为y＝ (x－c)

即：x－y－c＝0

∵F₁到直线l的距离为2

∴c＝2

∴椭圆C的焦距为4

(2)设A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)由题可知y₁＜0，y₂＞0

直线l的方程为y＝ (x－2)

(3a²＋b²)y²＋4b²y－3b²(a²－4)＝0

∵＝2，∴－y₁＝2y₂，代入①②得

得＝　　　　  ⑤

又a²＝b²＋4　　　　　　　 　　⑥

由⑤⑥解得a²＝9　b²＝5

∴椭圆C的方程为＝1

【解析】略