Question

某生物兴趣小组对A、B两种植物种子的发芽率进行验证性实验，每实验一次均种下一粒A种子和一粒B种子．已知A、B两种种子在一定条件下每粒发芽的概率分别为

1

2

，

2

3

．假设两种种子是否发芽互相不受影响，任何两粒种子是否发芽互相也没有影响．
（1）求3粒A种子，至少有一粒未发芽的概率；
（2）求A、B各3粒种子，A至少2粒发芽且B全发芽的概率；
（3）假设对B种子的实验有2次发芽，则终止实验，否则继续进行，但实验的次数最多不超过5次，求对B种子的发芽实验终止时，实验次数ξ的概率分布和数学期望．

Answer 1

分析：（1）先求出事件“3粒都发芽”的概率，然后利用对立事件的概率公式求出3粒A种子，至少有一粒未发芽的概率；
（2）利用互斥事件的概率公式求出）“A至少2粒发芽”，然后利用相互独立事件的概率公式求出事件的概率；
（3）利用相互独立事件的概率公式求出随即变量ξ取每一个值的概率值，列出分布列，利用随机变量的期望公式求出期望．

解答：解：（1）“至少有一粒未发芽”与“3粒都发芽”的对立事件；
3粒都发芽”的概率为：(

1

2

)3=

1

8

，
所以“至少有一粒未发芽”概率为1-

1

8

=

7

8

（2）“A至少2粒发芽”包含“3粒都发芽”和“只有2粒发芽”
所以“A至少2粒发芽”的概率为(

1

2

)3+

C

2 3

 (

1

2

)2•

1

2

=

1

2

，
B全发芽的概率为(

2

3

)3=

8

27

，
所以A至少2粒发芽且B全发芽的概率为

1

2

×

8

27

=

4

27

，
（3）ξ可能的取值有2，3，4，5
P（ξ=2）=(

2

3

)2=

4

9

，
P（ξ=3）=

C

1 2

 ×

2

3

×

1

3

×

2

3

=

8

27

，
P（ξ=4）=

C

1 3

×

2

3

×(

1

3

)2×

2

3

=

4

27

，
P（ξ=5）=

C

1 4

×

2

3

×(

1

3

)3+(

1

3

)4=

9

81

，
所以实验次数ξ的概率分布列：

所以ξ的数学期望为：Eξ=2×

4

9

+3×

8

27

+4×

4

27

+5×

9

81

=

79

27

点评：本题考查相互独立事件的概率公式、互斥事件的概率、对立事件的概率公式及求随机变量的分布列及期望的方法，属于一道中档题．