Question

已知三次函数f(x)=

a

3

x3+

b

2

x2+cx+d(2a＜b)在R上单调递增，则

a+b+c

b-2a

的最小值为

4

．

Answer 1

分析：函数f（x）在R上单调递增，则有f′（x）≥0恒成立，得到关于a，b，c的条件，把

a+b+c

b-2a

中的c用a，b表示，再运用基本不等式可求f（x）的最小值．

解答：解：f′（x）=ax²+bx+c，
因为三次函数f(x)=

a

3

x3+

b

2

x2+cx+d(2a＜b)在R上单调递增，
所以f′（x）=ax²+bx+c≥0恒成立，则有

a＞0 b2-4ac≤0

，所以c≥

b2

4a

．
则

a+b+c

b-2a

≥

a+b+ b2 4a

b-2a

=

(2a+b)2

4a(b-2a)

=

[(b-2a)+4a]2

4a(b-2a)

≥

[2 (b-2a)4a ]2

4a(b-2a)

=4，当且仅当b-2a=4a，即b=6a时取“=”号．
所以

a+b+c

b-2a

的最小值为4．
故答案为：4．

点评：本题考查应用导数研究函数的单调性及基本不等式求最值问题，考查分析问题解决问题的能力，属综合题．