Question

15．如果方程$\frac{x^2}{m+2}+\frac{y^2}{m+1}=1$表示双曲线，则实数m的取值范围是（　　）

• A． （-2，-1）
• B． （-∞，-2）∪（-1，+∞）
• C． （-1，-1）
• D． （-3，-2）

Answer 1

分析 分别讨论方程表示焦点在x轴上和y轴上的双曲线，列出不等式，解出它们，再求并集即可．

解答 解：①当方程$\frac{x^2}{m+2}+\frac{y^2}{m+1}=1$表示焦点在x轴上的双曲线，
则为$\frac{{x}^{2}}{m+2}$-$\frac{{y}^{2}}{-m-1}$=1，
所以$\left\{\begin{array}{l}{m+2＞0}\\{-m-1＞0}\end{array}\right.$，
解得-2＜m＜-1，
则m的取值范围为：（-2，-1）；
②当方程$\frac{x^2}{m+2}+\frac{y^2}{m+1}=1$表示焦点在x轴上的双曲线，
则为$\frac{{y}^{2}}{m+1}$-$\frac{{x}^{2}}{-m-2}$=1，
所以$\left\{\begin{array}{l}{m+1＞0}\\{-m-2＞0}\end{array}\right.$，
无解．
综上所述，则m的取值范围为：（-2，-1）．
故选：A．

点评 本题考查方程表示的图形，考查双曲线方程的特点，考查运算能力，属于基础题．