Question

已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，一条经过点且方向向量为的直线交椭圆于两点，交轴于点，且．

（1）求直线的方程；
（2）求椭圆长轴长的取值范围.

Answer 1

（1）；（2）．

试题分析：（1）直线过点且方向向量为
∴，方程为，
化简为：
∴直线的方程为
（2）设直线和椭圆交于两点，和轴交于，由，知，
将代入中，得……①
由韦达定理知：
由②²/③知：，化为　　……④
∵，
化简，得，即，
∴，注意到，解得
又椭圆的焦点在轴上，则，
由④知：，结合，求得．
因此所求椭圆长轴长范围为．
点评：中档题，涉及椭圆与直线位置关系问题，往往利用韦达定理。本题借助于韦达定理，建立方程组后，整理得到，进一步利用求得a的范围。