题目内容
．已知双曲线
＝1(a＞0，b＞0)的左、右两个焦点分别为F1、F2，P是它左支上一点，P到左准线的距离为d，双曲线的一条渐近线为y＝
x，问是否存在点P，使｜PF1｜、｜PF2｜成等比数列？若存在，求出P的坐标；若不存在说明理由．
＝1(a＞0，b＞0)的左、右两个焦点分别为F1、F2，P是它左支上一点，P到左准线的距离为d，双曲线的一条渐近线为y＝x，问是否存在点P，使｜PF1｜、｜PF2｜成等比数列？若存在，求出P的坐标；若不存在说明理由．假设存在点P(x0，y0)满足题中条件．
∵双曲线的一条渐近线为y＝x，∴
，∴b2＝3a2，c2－a2＝3a2，
＝2．即e＝2．
由
＝2得，
｜PF2｜＝2｜PF1｜ ①
∵双曲线的两准线方程为x＝±
，
∴｜PF1｜＝｜2x0＋2·｜＝｜2x0＋a｜，｜PF2｜＝｜2x0－2·｜＝｜2x0－a｜．
∵点P在双曲线的左支上，∴｜PF1｜＝－(a＋ex0)，｜PF2｜＝a－ex0，代入①得：a－ex0＝－2(a＋ex0)，∴x0＝－
a，代入
＝1，得y0＝±
a．
∴存在点P使d、｜PF1｜、｜PF2｜成等比数列，点P的坐标是(－a，±a)．
∵双曲线的一条渐近线为y＝
x，∴，∴b2＝3a2，c2－a2＝3a2， ＝2．即e＝2．由
＝2得，｜PF2｜＝2｜PF1｜ ①
∵双曲线的两准线方程为x＝±
，∴｜PF1｜＝｜2x0＋2·
｜＝｜2x0＋a｜，｜PF2｜＝｜2x0－2·｜＝｜2x0－a｜．∵点P在双曲线的左支上，∴｜PF1｜＝－(a＋ex0)，｜PF2｜＝a－ex0，代入①得：a－ex0＝－2(a＋ex0)，∴x0＝－
a，代入＝1，得y0＝±a．∴存在点P使d、｜PF1｜、｜PF2｜成等比数列，点P的坐标是(－
a，±a)．同答案
练习册系列答案
相关题目
、
，离心率
.（1）求双曲线的标准方程；（2）设
是（1）中所求双曲线上任意一点，过点
分别交于点
,若
，求
的面积.
的右焦点F作直线l与双曲线C交于P、Q两点，
,求点M的轨迹方程．
，焦点在坐标轴上且焦距是10，则此双曲线的方程为 ；
与
＝1(a＞b＞0)的渐近线( )
，0)为圆心，1为半径的圆相切，双曲线的一个顶点A1与A点关于直线y=x对称.
表示双曲线时，这些双曲线有相同的（ ）
相交于A(4, -1),若此圆在点A的切线与双曲线的一条渐进线平行,则双曲线的方程为——————
的焦点到渐近线的距离等于实轴长，则双曲线的离心率为 （ ）
