题目内容
在直三棱柱ABC-A1B1C1中，D，E分别是棱BC，CC1上的点（点D异于B、C）且AD⊥DE．
（1）求证：面ADE⊥面BCC1B1
（2）若△ABC为正三角形，AB=2，AA1=4，E为CC1的中点，求二面角E-AD-C的正切值．
（1）求证：面ADE⊥面BCC1B1
（2）若△ABC为正三角形，AB=2，AA1=4，E为CC1的中点，求二面角E-AD-C的正切值．
（1）证明：∵三棱柱ABC-A1B1C1是直三棱柱，
∴CC1⊥平面ABC，
∵AD?平面ABC，
∴AD⊥CC1
又∵AD⊥DE，DE、CC1是平面BCC1B1内的相交直线
∴AD⊥平面BCC1B1，
∵AD?平面ADE
∴平面ADE⊥平面BCC1B1；
（2）由（1）知，AD⊥BC，
∵CC1⊥平面ABC，∴DE⊥AD，
∴∠EDC是二面角E-AD-C的平面角
∵△ABC为正三角形，AB=2，AA1=4，E为CC1的中点，
∴CD=1，CE=2
∴tan∠EDC=
=2．
∴CC1⊥平面ABC，
∵AD?平面ABC，
∴AD⊥CC1
又∵AD⊥DE，DE、CC1是平面BCC1B1内的相交直线
∴AD⊥平面BCC1B1，
∵AD?平面ADE
∴平面ADE⊥平面BCC1B1；
（2）由（1）知，AD⊥BC，
∵CC1⊥平面ABC，∴DE⊥AD，
∴∠EDC是二面角E-AD-C的平面角
∵△ABC为正三角形，AB=2，AA1=4，E为CC1的中点，
∴CD=1，CE=2
∴tan∠EDC=
| EC |
| DC |
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