Question

下列命题中所有正确序号为   
①在△ABC中，若sinA＞sinB，则cosA＜cosB；
②若b²-4c≥0，则函数的值域为R
③如果一个数列{a_n}的前n项和则此数列是等比数列的充要条件是a+c=0
④设命题p：＜0，命题q：-x ²+（2a+1）x-a（a+1）＞0，若￢p是￢q的必要不充分条件，求实数a的取值范围0≤a≤．

Answer 1

【答案】分析：根据正弦定理和余弦函数在（0，π）是减函数，能推导出①正确；根据对数函数的性质能推导出②正确；根据等比数列的通项与性质，结合已知S_n求的a_n方法，通过正反论证可得③正确；根据命题的必要不充分条件和不等式的性质能判断出④正确．
解答：解：对于①：在△ABC中，若sinA＞sinB，则A＞B，
由余弦函数在（0，π）是减函数，故有cosA＜cosB，故①正确；
对于②：若b²-4c≥0，则x²+bx+c能取得所有正数，
∴函数的值域为R，故②正确；
对于③：数列{a_n}的前n项和S_n=abⁿ+c
可得当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=ab^n-1（b-1）
当n=1时，a₁=S₁=ab+c
接下来讨论充分性与必要性
若a+c=0，则ab+c=a（b-1）=ab^1-1（b-1），
可得数列的通项为a_n=a（b-1）b^n-1，
∵a≠0，b≠0，b≠1
∴数列{a_n}构成以a（b-1）为首项，公比为b的等比数列．故充分性成立；
反之，若此数列是等比数列，得
∵当n≥2时，a_n=ab^n-1（b-1），公比为b
∴a₂=ab¹（b-1）=ba₁=b（ab+c）
∴-ab=bc⇒b（a+c）=0
∵b≠0，
∴a+c=0，故必要性成立，故③正确；
④∵命题p：＜0，
∴￢P：，即x≥1，或x；
∵命题q：-x ²+（2a+1）x-a（a+1）＞0，
∴￢q：（x-a）[x-（a+1）]≥0，即x≥a+1，或x＜a．
∵￢p是￢q的必要不充分条件，
∴，解得实数a的取值范围0≤a≤．
故④正确．
故答案为：①②③④．
点评：本题考查命题的真假判断，是基础题．解题时要认真审题，注意三角函数、对数函数、数列、不等式等知识点的合理运用．