Question

某车间生产某种产品，固定成本为2万元，每生产一件产品成本增加100元，已知总收益R（总收益指工厂出售产品的全部收入，它是成本与总利润的和，单位：元）是年产量Q（单位：件）的函数，并且满足下面关系式：
R=f（Q）=

400Q- 1 2 Q2 0≤Q≤400 80000 Q＞400

，求每年生产多少产品时，总利润最大？此时总利润是多少元？

Answer 1

分析：由题设条件知y=R-100Q-20000=

300Q- 1 2 Q2-20000 0≤Q≤400 60000-100Q Q＞400

（Q∈Z），由此进行分类讨论能够求出每年生产多少产品时，总利润最大，并能求出此时总利润．

解答：解：∵y=R-100Q-20000
=

300Q- 1 2 Q2-20000 0≤Q≤400 60000-100Q Q＞400

（Q∈Z），
∴0≤Q≤400时，
y=300Q-

1

2

Q2-20000
=-

1

2

（Q-300）²+25000，
此时，Q=300时，y_max=25000．
Q＞400时，y=60000-100Q＜20000．
所以，每年生产300件时利润最大，最大值为25000元．

点评：本题考查函数最值的应用，综合性强，难度大，易出错．解题时要认真审题，注意分类讨论思想的灵活运用．