题目内容
9.已知函数f(x)在R上满足f(x)=2f(2-x)+ex-1+x2,则曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程是x-y-3=0.分析 将x用2-x代入f(x)=2f(2-x)+ex-1+x2,建立f(x)与f(2-x)的方程组,解出f(x)的解析式,求出f′(x)、f(1)、f′(1),利用导数的几何意义和点斜式方程求出切线方程.
解答 解:由题意得,f(2-x)=2f(x)+e1-x+(2-x)2,①
∴令x取2-x代入①得,f(x)=2f(2-x)+ex-1+x2,②
联立①②解得:f(x)=$-\frac{1}{3}$(2e1-x+ex-1+3x2-8x+8 ),
∴f′(x)=$-\frac{1}{3}$(-2e1-x+ex-1+6x-8)
则f(1)=-2,f′(1)=1,
∴曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程是x-y-3=0,
故答案为:x-y-3=0.
点评 本题考查了利用导数研究曲线上某点切线方程,函数解析式的求解,考查运算求解能力,转化思想,属于中档题.
练习册系列答案
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