Question

已知函数f（x）=log_a

1-mx

x-1

（a＞0，a≠1，m≠1）是奇函数．
（1）当x∈（n，a-2）时，函数f（x）的值域是（1，+∞），求实数a与n的值；
（2）令函数g（x）=-ax²+8（x-1）a^f（x）-5，a≥8时，存在最大实数t，使得x∈（1，t]-5≤g（x）≤5恒成立，请写出t与a的关系式．

Answer 1

分析：（1）由已知，f（x）+f（-x）=0对定义域中的x均成立．求出m=-1，利用函数的单调性求f（x）在x∈（n，a-2）上的值域，列出相应的方程组并解出即可．
（2）g（x）=-ax²+8（x-1）a^f（x）-5=-a（x-

4

a

）²+3+

16

a

，利用二次函数的图象和性质求解．

解答：解：（1）由已知条件得f（x）+f（-x）=0对定义域中的x均成立．
∴

log	mx+1 -x-1 a

+

log	1-mx x-1 a

=0．
即

mx+1 -x-1

1-mx x-1

=1∴m²x²-1=x²-1对定义域中的x均成立．
=1，m=1（舍去）或=-1，∴m=-1．
∴f（x）=

log

x+1 x-1 a

（x＜-1或x＞1）
设t=

x+1

x-1

=1+

2

x-1

，
∴当a＞1时，f（x）在（1，+∞）上是减函数．
同理当0＜a＜1时，f（x）在（1，+∞）上是增函数．
∵函数f（x）的定义域为（1，+∞）∪（-∞，-1），
∴①当n＜a-2≤-1时有0＜a＜1．
∴f（x）在（n，a-2）为增函数，
要使值域为（1，+∞），
则

log n+1 n-1 a =1 a-2=-1

（无解）；
②当1≤n＜a-2时有a＞3．
∴f（x）在（n，a-2）为减函数，
要使f（x）的值域为（1，+∞），则

log a-1 a-3 a =1 n=1

，
∴a=2+

3

，n=1．
（2）g（x）=-ax²+8（x-1）a^f（x）-5=-ax²+8（x+1）-5=-a（x-

4

a

）²+3+

16

a

则函数y=g（x）的对称轴x=

4

a

，∵a≥8∴x=

4

a

∈(0，

1

2

]．
∴函数y=g（x）在（1，t]上单调减．
则1＜x≤t，有g（t）＜g（x）＜g（1）
∵g（1）=11-a，又∵a≥8，∴g（1）=11-a≤3＜5．
∵t是最大实数使得x∈（1，t]-5≤g（x）≤5恒成立
∴-at²+8t+3=-5即at²-8t-8=0．

点评：本题考查函数的奇偶性和单调性，函数值域求解，考查数形结合、分类讨论的思想．