Question

函数f（x）=x³+3ax²+3bx+2在x=2处取得极值，其图象在x=1处的切线与直线x-3y+5=0垂直．
（1）求a，b的值；
（2）当x∈(-∞，

3

]时，xf′（x）≤m-6x²+9x恒成立，求m的取值范围．

Answer 1

分析：（1）由题意及两个已知条件可以建立a，b的两个方程．
（2）由题意知属于函数在定义域上恒成立问题；一般先对解析式变形；一端分解出参数字母m，一端为函数式，要想恒成立等价转化为字母恒小于或大于函数在定义域下的最值．

解答：解：（1）f'（x）=3（x²+2ax+b）
由题意得

4+4a+b=0 3(1+2a+b)=-3

，解得a=-1，b=0
（2）当x∈(-∞，

3

]时，xf'（x）≤m-6x²+9x恒成立?当x∈(-∞，

3

]时，3x³-9x≤m恒成立
令g（x）=3x³-9x，则g'（x）=9（x+1）（x-1）g（x）在(-∞，-1)，(1，

3

)是增函数，（-1，1）是减函数
而g(

3

)=0，g(-1)=6，所以当x∈(-∞，

3

]时，g（x）_max=6
故m≥6

点评：此题（1）考查了导数和导数的极值，导数的几何含义及利用了高中数学中常用的方程的思想求解a，b的值；
此题（2）考查了函数在定义域下恒成立时字母的取值范围及解题中等价转化的思想．