Question

（本小题满分12分）已知斜率为1的直线与双曲线相交于B、D两点，且BD的中点为M（1，3）。

（1）求双曲线C的离心率；

（2）若双曲线C的右焦点坐标为（3，0），则以双曲线的焦点为焦点，过直线上一点M作椭圆，要使所作椭圆的长轴最短，点M应在何处？并求出此时的椭圆方程。

 

Answer 1

【答案】

（本小题满分12分）

解：（Ⅰ）由题设知：的方程为，代入的方程，并化简得：

  (＊)…………………………2分

设，则， ……4分

由为的中点知，故

即.故，　　∴   验证可知方程(＊)的△>0………6分

（Ⅱ）双曲线的左、右焦点为、，点关于直线①

的对称点的坐标为，直线的方程为②   ………8分

解方程组①②得：交点          ……………………………9分

此时最小，所求椭圆的长轴，

∴         …………………………………………………………11分

又， ∴，故所求椭圆的方程为   ………………12分

 

【解析】略