题目内容

对于函数f（x），若存在x0使得f（x0）=x0成立，则称点（x0，x0）为函数f（x）的不动点．
（1）已知函数f（x）=ax2+bx-b（a≠0）有不动点（1，1）和（-3，-3），求a，b的值．
（2）若对于任意实数b，函数f（x）=ax2+bx-b总有两个相异的不动点，求a的范围．
分析：（1）根据不动点的定义，及已知中函数f（x）=ax2+bx-b（a≠0）有不动点（1，1）和（-3，-3），我们易构造一个关于a，b的二元一次方程组，解方程组即可得到答案．
（2）若函数f（x）=ax2+bx-b总有两个相异的不动点，则方程ax2+bx-b=x有两个相异的实根，由此可以构造出一个不等式，结合函数的性质，解不等式即可得到a的范围．
解答：解：（1）由题意
f(1)=1
f(-3)=-3
，即
a+b-b=1
a(-3)2+b(-3)-b=-3
，解的
a=1
b=3
．
（2）函数f（x）=ax2+bx-b总有两个相异的不动点，
即关于x的方程f（x）=x有两个不等根．
化简f（x）=x得到ax2+（b-1）x-b=0．
所以（b-1）2+4ab＞0，即b2+（4a-2）b+1＞0．
由题意，该关于b的不等式恒成立，
所以（4a-2）2-4＜0．解之得：0＜a＜1．
点评：本题考查的知识点是二次函数的性质，其中根据二次函数、二次方程、二次不等式之间的关系，将函数问题转化为不等式或方程问题是解答本题的关键．
练习册系列答案
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对于函数f（x），若存在区间M=[a，b]（其中a＜b），使得{y|y=f（x），x∈M}=M，则称区间M为函数f（x）的一个“稳定区间”．给出下列4个函数：
①f（x）=（x-1）2；②f（x）=|2x-1|；③f(x)=cos
π2
x；④f（x）=ex．其中存在“稳定区间”的函数有
 
（填出所有满足条件的函数序号）
对于函数f（x），若在其定义域内存在两个实数a，b（a＜b），使当x∈[a，b]时，f（x）的值域也是[a，b]，则称函数f（x）为“科比函数”．若函数f（x）=k+
x+2
是“科比函数”，则实数k的取值范围是
 
．
对于函数f（x），若存在x0∈R，使f（x0）=x0成立，则称x0为f（x）的不动点．如果函数
f（x）=ax2+bx+1（a＞0）有两个相异的不动点x1，x2．
（1）若x1＜1＜x2，且f（x）的图象关于直线x=m对称，求证：
12
＜m＜1；
（2）若|x1|＜2且|x1-x2|=2，求b的取值范围．
对于函数f（x），若f（x0）=x0，则称x0为f（x）的：“不动点”；若f[f（x0）]=x0，则称x0为f（x）的“稳定点”．函数f（x）的“不动点”和“稳定点”的集合分别记为A和B，即A={x|f[f（x）]=x}．
（1）设函数f（x）=ax2+bx+c（a≠0），且A=∅，求证：B=∅；
（2）设函数f（x）=3x+4，求集合A和B，并分析能否根据（1）（2）中的结论判断A=B恒成立？若能，请给出证明，若不能，请举以反例．
对于函数f（x），若存在x0∈R，使得f（x0）=x0，则称x0为函数f（x）的不动点．若函数f（x）=
x2+a
bx-c
（b，c∈N*）有且仅有两个不动点0和2，且f（-2）＜-
1
2
．
（1）试求函数f（x）的单调区间，
（2）已知各项不为0的数列{an}满足4Sn•f（
1
an
）=1，其中Sn表示数列{an}的前n项和，求证：(1-
1
an
)an+1＜
1
e
＜(1-
1
an
)an
（3）在（2）的前题条件下，设bn=-
1
an
，Tn表示数列{bn}的前n项和，求证：T2011-1＜ln2011＜T2010．

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