Question

（2008•武汉模拟）已知数列{a_n}满足递推关系式：a_n+2a_n-a_n+1²=tⁿ（t-1），（n∈N^*），且a₁=1，a₂=t．（t为常数，且t＞1）
（1）求a₃；
（2）求证：{a_n}满足关系式a_n+2-2ta_n+1+ta_n=0，（n∈N^*；
（3）求证：a_n+1＞a_n≥1（n∈N^*）．

Answer 1

分析：（1）由a₃a₁-a₂²=t（t-1）和a₁=1，a₂=t，能求出a₃．
（2）由a_n+2a_n-a_n+1²=tⁿ（t-1），（n∈N^*）得a_n+1a_n-1-a_n²=t^n-1（t-1）（n≥2），所以a_n+2a_n-a_n+1²=ta_n+1a_n-1-ta_n²，

an+2+tan

an+1

=

an+1tan-1

an

，由此能够证明a_n+2-2ta_n+1+ta_n=0．
（3）由t＞1知：a_n+2a_n＞a_n+1²≥0，所以a_n+2a_n＞0，故a_n+2与a_n同号，由此能够证明a_n+1＞a_n≥1．

解答：解：（1）由a₃a₁-a₂²=t（t-1）和a₁=1，a₂=t
∴a₃=2t²-t…（4分）
（2）由a_n+2a_n-a_n+1²=tⁿ（t-1），（n∈N^*）
得a_n+1a_n-1-a_n²=t^n-1（t-1）（n≥2），
再由上两式相除得到：∴a_n+2a_n-a_n+1²=ta_n+1a_n-1-ta_n²
∴a_n（a_n+2+ta_n）=a_n+1（a_n+1+ta_n-1）
∴

an+2+tan

an+1

=

an+1tan-1

an

即{

an+2+tan

an+1

}为常数列
∴

an+2+tan

an+1

=

a3+ta1

a2

而a₃+ta₁=2t²∴

an+2+tan

an+1

=2t．
即a_n+2-2ta_n+1+ta_n=0．…（9分）
（3）由t＞1知：a_n+2a_n＞a_n+1²≥0
∴a_n+2a_n＞0
故a_n+2与a_n同号
而a₁=1＞0，a₂=t＞0．
故a_n＞0．
又a

•

n

+2an＞

a

2 n+1

即

an+2

an+1

＞

an+1

an

∴

an+1

an

＞

an

an-1

＞…＞

a2

a1

=t＞1
∴a_n+1＞a_n
∴a_n≥1
∴a_n+1＞a_n≥1．…（14分）

点评：本题考查数列的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意不等式性质的合理运用．