Question

已知数列{a_n}中，a₁=2，a₂=3，其前n项和S_n满足S_n+1+S_n-1=2S_n+1（n≥2，n∈N^*）．
（1）求证：数列为等差数列，并求的通项公式；
（2）b_n=2n•a_n，求数列{b_n}的前n项和T_n；
（3）c_n=4ⁿ+（-1）^n-1λ•2^a（λ为非零整数，n∈N^*），试确定λ的值，使得数列{c_n}是递增数列．

Answer 1

分析：（1）利用数列递推式，可得（S_n+1-S_n）-（S_n-S_n-1）=1（n≥2，n∈N^*），由此可得结论，并可求通项公式；
（2）利用错位相减法，求得数列{b_n}的前n项和，代入不等式，利用函数的单调性，即可求n的取值范围；
（3）要使c_n+1＞c_n恒成立，即3×4ⁿ-3（-1）^n-1λ2ⁿ⁺¹＞0恒成立，分离参数，分类讨论，即可求得结论．

解答：（1）证明：由已知得，(Sn+1-Sn)-(Sn-Sn-1)=1(n≥2，n∈N*)，----------------（1分）
即an+1-an=1(n≥2，n∈N*)，且a₂-a₁=1．----------------（2分）
所以数列{a_n}是以a₁=2为首项，公差为1的等差数列，
所以a_n=n+1．------------------（4分）
（2）解：由（1）知bn=(n+1)•2n，它的前n项和为T_nTn=2•21+3•22+4•23+…+n•2n-1+(n+1)•2n．①2Tn=2•22+3•23+4•24+…+n•2n+(n+1)•2n+1．②
①-②得，-Tn=2•21+22+23+…+2n-(n+1)•2n+1-----------------（6分）=4+

22•(1-2n-1)

1-2

-(n+1)•2n+1=-n•2n+1∴Tn=n•2n+1．--------------------（8分）
（3）解：∵a_n=n+1，∴cn=4n+(-1)n-1λ•2n+1，
要使c_n+1＞c_n恒成立，即3×4ⁿ-3（-1）^n-1λ2ⁿ⁺¹＞0恒成立，∴（-1）^n-1λ＜2^n-1恒成立，…（12分）
（i）当n为奇数时，即λ＜2^n-1恒成立，当且仅当n=1时，2^n-1有最小值为1，∴λ＜1．
（ii）当n为偶数时，即λ＞-2^n-1恒成立，当且仅当n=2时，-2^n-1有最大值-2，∴λ＞-2．
∴-2＜λ＜1，又λ为非零整数，则λ=-1．…（15分）
综上所述：存在λ=-1，使得对任意的n∈N^*，都有c_n+1＞c_n．…（16分）

点评：本题考查数列递推式，考查数列的通项与求和，考查恒成立问题，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．